Николай Киров
Преподаване
Курсове за 2003/2004 учебна година

ВЪВЕДЕНИЕ В ХАОТИЧНИ ДИНАМИЧНИ СИСТЕМИ

(Едномерна динамика)

Допълнителни консултации - след 28.05, всеки петък [4.06, 11.06, 25.06, 2.07 ... до изпита] от 14:15 часа в 416 кабинет на Институт по математика и информатика - БАН или по e-mail nkirov<>math.bas.bg.

ЛЕКЦИИ - петък, 14:15 часа, 229 ауд. на ФМИ
УПРАЖНЕНИЯ - петък, 16:15 часа, 314 зала

    Курсът ще се чете с 1/2 хорариум (консултации) поради малък брой слушатели-бакалаври.
График на занятията:
05.03
1. Примери на динамични системи. Топология на реалната права. Теореми за неподвижна точка и за свиващо изображение.
12.03
2. Неподвижни и периодични точки.  Хиперболичност. Устойчиво и неустойчиво множество.
19.03
3. Квадратична фамилия. Динамика на логистичното изображение при  1 Ј m Ј 3.
23.04
4. Канторово съвършено множество.  Динамика на логистичното изображение при m  > 2 + sqrt(5).
5. Символна динамика. S2 и динамика на изображението s  (прeместване вляво).
30.04
6. Топологична спрегнатост.  Пример с логистичното изображение за m > 2 + sqrt(5) и изображението s.
7. Хаос. Изображенията върху единичната окръжност fk(q) = k q и полиномите на Чебишев.
14.05
8. Структурна устойчивост.
9. Теорема на Шарковски.
10. Производна на Шварц. Оценка за броя на привличащите периодични точки.
21.05
11. Теория на бифуркациите. Тангенциални бифуркации.
12. Теория на бифуркациите. Бифуркации с  удвояване на периода.
13. Символна динамика на логистичното изображение за m = 3.839.
28.05
14. Хомоклинични точки и бифуркации. Бифуркации на логистичното изображение за 8/3 < m < 4.
15. Унимодални функции. Теория на размесването.
16. Произход на периодичните точки.

АНОТАЦИЯ

    Понятията динамични системи и хаос станаха актуални в последно време сред специалисти от различни научни области. Целта на този курс е да се въведат и развият някои фундаментални идеи на хаотичната динамика с възможно най-прости средства. Възможностите на съвременните персонални компютри за моделиране и визуализация на динамични системи позволяват те да се използват ефективно в учебния процес.
    Оказва се, че повечето от ефектите на хаотичните динамични системи могат да се открият в едномерна динамика и даже при няколко прости моделни примери. Например логистичното изображение
Fm(x)= mx(1 - x)
генерира динамични системи (за различни стойности на параметъра m), които ще бъдат основни обекти за изучаване по време на курса.
    Курсът представлява интерес както в теоретичен, така и в приложен аспект (за специалности математика, информатика, физика, инженерни науки) и изисква предварителни математически знания по анализ (главно функции на една променлива) и елементарни познания за работа с персонален компютър.

УЧЕБНА ПРОГРАМА

   Предвиденият учебен материал изисква 2 часа лекции и 2 часа семинарни/лабораторни упражнения седмично за един семестър.
    Лекциите ще включват следните основни въпроси:
  • Квадратични изображения
  • Хиперболичност
  • Символна динамика
  • Топологична свързаност
  • Хаос
  • Структурна устойчивост
  • Теорема на Шарковски
  • Производна на Шварц
  • Теория на бифуркациите
  • Изображения на окръжността
  • Дифеоморфизми на Морз-Смейл
  • Хомоклинични точки и бифуркации
  • Удвояване на периода води до хаос
  • Теория на размесването
  • Произход на периодичните точки

    •     Семинарните упражнения се състоят в решаване на задачи с цел осмисляне на преподавания материал.
        Лабораторните упражнения представляват компютърно моделиране на динамични системи. С помощта на готов софтуер се изследва поведението на конкретни динамични системи. 

    ДОПЪЛНИТЕЛНА ИНФОРМАЦИЯ

        Курсът следва превъзходния учебник на Робърт Девани [1]. Самият проф. Девани чете курс MA 771 по този учебник и MA 471/671 в Бостонския университет, Бостън, САЩ.
        Курсът е четен през 1992 г. като спецкурс във Факултет по математика и информатика - СУ и през 1995 г. в Нов български университет. От 2001 година да сега се чете като избираем курс за студенти от ФМИ, специалности математика, информатика и приложна математика от 2, 3 и 4. курс.

    ОЦЕНЯВАНЕ  НА  ЗНАНИЯТА  НА  СТУДЕНТИТЕ

        Още в началото на курса всеки студент получава индивидуална курсова задача. Това е еднопараметрична фамилия динамични системи, която трябва да бъде изучена от студента. В хода на лекциите студентът има възможност да прилага теоремите, методите и техниките за изследване на динамични системи върху своята фамилия. До края на семестъра или през сесията студентът представя курсовата задача и демонстрира (на компютър) свойствата на динамичните системи от фамилията.
        Втората част от изпита се състои в класически устен изпит - един въпрос от конспекта.
        Оценката се оформя с равни тегла на курсова задача и устен изпит.

    Учебен софтуер

  •     JAVA Applets for chaos and fractals.
  •     Програма на за изследване на динамични системи - download.
  •     Mathematica Tools for Use in MA471/671
  •     Софтуер, написан от студента за конкретно изследване на неговата фамилия динамични системи.

    • Курсови задачи

    Да се изследва динамиката на следната еднопараметрична фамилия динамични системи:
     
    1. fm(x) = m x(1 - x), m і 0 2.  fl(x) = l sin(x), -3 Јl Ј 4
    3. fl(x) = lx 4. fl(x) = l(x - x3/3), -3 Јl Ј 4
    5. fl(x) = l cos(x), -3 Јl Ј 4 6. fc(x) = x2 + c, -2.5 Јc Ј 1
    7. fm(x) = mx, 0 Јm Ј 0.5; m(1-x), 0.5Ј m Ј 1 8. fm(x) = m x3- 3x, m і 0

    Изисквания за курсовата задача

        Изследването на фамилията динамични системи включва:
    1. Общи свойства на фамилията - производни, графика и др.
    2. Интервали на проста динамика. Хиперболични и нехиперболични неподвижни точки. Устойчиви и неустойчиви множества.
    3. Наличие на двупериодични точки и на трипериодични точки.
    4. Хаос върху канторово съвършено множество, символна динамика (топологическа спрегнатост).
    5. Хаос върху интервал (топологическа спрегнатост).
    6. Теорема на Шарковски - интервали за параметъра, когато има само неподвижни точки,
    само 2 периодични точки, само 4 периодични точки и т.н.
    7. Производна на Шварц. Привличащи точки и орбити.
    8. Бифуркации - вид, графика
    9. Символна динамика при стойност на параметъра - наличие на 3 периодична привличаща орбита.
    10. Хомоклинични и хетероклинични точки.
    11. Удвояване на периода води до хаос?
    12. Унимодални функции? Маршрут на критичната точка. Теория на размесването. Произход на периодичните точки.

    ЛИТЕРАТУРА

    [1] Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Perseus Publ. Co, 1989.
    [2] Robert L. Devaney, A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Perseus Publ. Co, 1992.
    [3] L. S. Block, W. A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Springer, 1992.
    [4] Christian Mira, Chaotic Dynamics, World Scientific, 1987.
    [5] Richard A. Holmgren, A First Course in Discrete Dynamical Systems (Second Edition),  Springer, New York, 1996.
    [6] Mario Martelli, Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos, Wiley, 1999.

    Интересни и полезни връзки

  • ONE DIMENSIONAL DYNAMICAL SYSTEMS
  • Sequences and Discrete Dynamical Systems
  • Linear Algebra & Discrete Dynamical Systems, part I
  • Periodic Points of a Certain Discrete Dynamical System
  • Graphical Analysis for Discrete Dynamical Systems
  • Software for Analyzing Difference Equations and Discrete Dynamical Systems
  • Math 5260 Dynamical Systems
  • Iterated Polynomials (applet) Paul Garrett, garrett@math.umn.edu
  • ...


    • Последна промяна: 2 юли 2004 г.