Николай Киров - Преподаване - СУ - 2001/2002 - летен семестър

ВЪВЕДЕНИЕ В ХАОТИЧНИ ДИНАМИЧНИ СИСТЕМИ

(Едномерна динамика)

АНОТАЦИЯ

Понятията динамични системи и хаос станаха актуални в последно време сред специалисти от различни научни области. Целта на този спецкурс е да се въведат и развият някои фундаментални идеи на хаотичната динамика с възможно най-прости средства. Възможностите на съвременните персонални компютри за моделиране и визуализация на динамични системи позволяват те да се използват ефективно в учебния процес.

Оказва се, че повечето от ефектите на хаотичните динамични системи могат да се открият в едномерна динамика и даже при няколко прости моделни примери. Например логистичното изображение

F(m,x) = mx(1-x)

генерира динамични системи (за различни стойности на параметъра m), които ще бъдат основни обекти за изучаване.

Курсът представлява интерес както в теоретичен, така и в приложен аспект (за специалности математика, информатика, физика, инженерни науки) и изисква предварителни математически знания по анализ (главно функции на една променлива) и елементарни познания за работа с персонален компютър.

ЛЕКЦИИ, СЕМИНАРНИ И ЛАБОРАТОРНИ УПРАЖНЕНИЯ

Предвиденият учебен материал изисква 2 часа лекции и 2 часа семинарни/лабораторни упражнения седмично за един семестър.

Лекциите ще включват следните основни въпроси:

  • Квадратични изображения
  • Хиперболичност
  • Символна динамика
  • Топологична свързаност
  • Хаос
  • Структурна устойчивост
  • Теорема на Шарковски
  • Производна на Шварц
  • Теория на бифуркациите
  • Изображения на окръжността
  • Дифеоморфизми на Морз-Смейл
  • Хомоклинични точки и бифуркации
  • Удвояване на периода води до хаос
  • Теория на размесването
  • Произход на периодичните точки

    •  

     
     
     

    Семинарните упражнения се състоят в решаване на задачи с цел осмисляне на преподавания материал.

    Лабораторните упражнения представляват компютърно моделиране на динамични системи. С помощта на разработената софтуерна система DYSY се изследва поведението на конкретни динамични системи. За тази цел ще се използва персонален компютър IBM PC.

    ДОПЪЛНИТЕЛНА ИНФОРМАЦИЯ

    Курсът следва превъзходния учебник на Робърт Девани [1]. Самият проф. Девани чете курс MA 771 по този учебник и MA 471/671 в Бостонския университет, Бостън, САЩ.

    Курсът е четен през 1992 г. като спецкурс във Факултет по математека и информатика - СУ и през 1995 г. в Нов български университет.

    Учебен софтуер

    JAVA Applets for chaos and fractals

    Програма на Турбо Паскал за изследване на динамични системи (nkk.tpu за Borland Pascal, nkk.zip- source files for nkk.tpu) - downloads

    КОНСПЕКТ

    1. Примери на динамични системи. Топология на реалната права. Теореми за неподвижна точка и за свиващо изображение.
    2. Неподвижни и периодични точки.  Хиперболичност. Устойчиво и неустойчиво множество.
    3. Квадратична фамилия. Динамика на логистичното изображение при  1 <= mu <= 3.
    4. Канторово съвършено множество.  Динамика на логистичното изображение при mu > 2+sqrt(5).
    5. Символна динамика. Sigma_2 и динамика на изображението sigma  (прeместване вляво).
    6. Топологична спрегнатост.  Пример с логистичното изображение за mu > 2+sqrt(5) и изображението sigma.
    7. Хаос. Изображенията върху единичната окръжност f_k(theta) = k.theta и полиномите на Чебишев.
    8. Структурна устойчивост.
    9. Теорема на Шарковски.
    10. Производна на Шварц. Оценка за броя на привличащите периодични точки.
    11. Теория на бифуркациите. Тангенциални бифуркации.
    12. Теория на бифуркациите. Бифуркации с  удвояване на периода.
    13. Символна динамика на логистичното изображение за mu = 3.839.
    14. Хомоклинични точки и бифуркации. Бифуркации на логистичното изображение за 8/3 < mu < 4.
    15. Унимодални функции. Теория на размесването.
    16. Произход на периодичните точки.
     
     

    Изисквания за курсовата задача

    1. Общи свойства на фамилията - производни, графика и др.
    2. Интервали на проста динамика. Хиперболични и нехиперболични неподвижни точки. Устойчиви и неустойчиви множества.
    3. Наличие на двупериодични точки и на трипериодични точки.
    4. Хаос върху канторово съвършенно множество, символна динамика (топологическа спрегнатост).
    5. Хаос върху интервал (топологическа спрегнатост).
    6. Теорема на Шарковски - интервали за параметъра, когато има само неподвижни точки,
    само 2 периодични точки, само 4 периодични точки и т.н.
    7. Производна на Шварц. Привличащи точки и орбити.
    8. Бифуркации - вид, графика
    9. Символна динамика при стойност на параметъра - наличие на 3 периодична привличаща орбита.
    10. Хомоклинични и хетероклинични точки.
    11. Удвояване на периода води до хаос?
    12. Унимодални функции? Маршрут на критичната точка. Теория на разесването. Произход на периодичните точки.

    ЛИТЕРАТУРА

    [1] Robert L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Perseus Publ. Co, 1989.
    [2] Robert L. Devaney, A First Course in Chaotic Dynamical Systems Perseus Publ. Co, 1992.
    [3] L. S. Block, W. A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Springer, 1992.
    [4] Christian Mira, Chaotic Dynamics, World Scientific, 1987.
    [5] Г. Шустер, Детерминированный хаос, "Мир", 1988. 
    Back to Homepage,Преподаване Последна промяна: 10 май 2002 г.