9.  Математически задачи

План:
Задачи за домашно 9 и 10

Полиноми - представяне, стойности, производни, интеграли,
Числени методи
Комплексни числа
Задачи за домашно 11 и 12

*** Полиноми (многочлен, Polynomial)
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Полиноми с цели коефициенти.
Пример:
P3(x) = x3 + 4x2 + 5

Нормална форма на полином - коефициентите нямат общ делител.
Пример: P3(x) = x3 + 4x2 + 5 е нормална форма, а P3(x) = 2x3 + 8x2 + 10 не е.

* Представяне
- като редица от коефициенти
a0, a1, ..., an
Пример: 5 0 4 1 
5x3 + 4x + 1

- като низ с правилата на TeX, LaTeX
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x +a_0$
Пример: $x^3 + 4x^2 + 5$
x3 + 4x2 + 5

- като низ на езика Паскал (Pascal)
Пример: x^3 + 4*x^2 + 5

- като низ на езика С
Пример: x*x*x + 4*x*x + 5

* Пресмятане на стойност
- По общата формула за многочлен със запазване на xk, за k = 1, 2, ..., n, без използване на аритметичната функция pow.
- Стойността на полиномът Pn(x) се смята за време O(n) по схемата на Хорнер. Последователно се пресмятат стойностите на редица от n полинома, всяка за време O(1).
Получаваме Pn(x) = pn(x).

 * Производна на полином
P'n(x) = nanxn-1 + (n-1)an-1xn-2 + ... + a2x + a1

Програма за намиране на производната на полином.

Минимална и максимална стойности:
- решаване на уравнението P'n(x) = 0.
- в даден интервал, за цели стойности на аргумента x

Задача от състезания: Полином.
https://www.hackerrank.com/nbu-march-2020-programming-contest
 

* Интеграл
- неопределен интеграл - примитивна функция
int(xn) = xn+1/(n+1), защото (xn+1)' = (n+1)xn
int
- определен интеграл - граници на ингегриране
integral
където F'(x) = f(x).

- пресмятане на лице (площ) на фигура, заградена от графика на функция и абцисната ос (видео).

Задачи за полиноми

*** Числени методи
* Нули на функция (корени на уравнение)
- метод на разполовяването (bisection method)
- други методи

* Системи от уравнения
Задачи, при които се налага решаване на система от уравнения: пресечни точки на фигури в равнината,

- линейни системи от уравнения
метод на Гаус - Gaussian Elimination - видео
Gauss–Seidel method

- нелинейни системи от уравнения
Предварителни пресмятания и довеждане на решението до няколко формули.
Търсене на целочислени решения (пълно изчерпване).

Нелинейни системи и квантови компютри

*** Комплексни числа [AL Complex numbers, p. 266], (Wiki)

Комплексно число се представя с израза x + yi, където x и b са реални числа, а i се нарича имагинерна единица, дефинирана с i2 = −1.
В този израз x е реалната част, а y е имагинерната част на комплексното число.
Пример: Числото 3 + 2i има реална част 3 и имагинерна част 2.

Реалните числа могат да се представят като комплексни с имагинерна част 0.
Пример: 2 = 2 + 0i.

Комплексни числа в C++11
Радиани и градуси

Комплексни числа и вектори в декартовата равнина.
Пример: com.cpp