14. Търсещи дървата - втора част

Многоканални търсещи дървета
-- Дефиниция
-- Търсене в многоканално търсещо дърво
(2,4) дървета
-- Дефиниция
-- Операции за промяна: вмъкване и премахване
Червено-черни дървета
-- Дефиниция
-- Операции за промяна: вмъкване и премахване
-- C++ реализация

Наредени дървета

Многоканални търсещи дървета (Multi-Way Search Trees)

• Възел v от наредено дърво се нарича d-възел, ако v има d деца.
  
• Многоканално търсещо дърво (multi-way search tree) е наредено дърво такова, че:
• Всеки вътрешен възел v има най-малко две деца (d-възел с d >= 2);
• v съдържа d − 1 двойки ключ-елемент (k_i, e_i)  (d е броят на децата), членове на речника;
  
• За възел с деца v₁, v₂, …, v_d съдържащ ключове k₁ < k_{2 <} … < k_d−1:
• ключовете в поддървото на v₁ са по-малки от k₁;
• ключовете в поддървото на v_i са между k_i−1 и k_i (i = 2, …, d − 1);
• ключовете в поддървото на v_d са по-големи от k_d−1.
• Листата не съдържат ключове.

• Inorder обхождането за двоични дървета се разширява за многоканални търсещи дървета с обхождане на ключовете във всеки възел.
  
• Посещаваме двойката (k_i, e_i) на възела v между рекурсивните обхождания на поддърветата на v с корени децата му v_i и v_i+1.
• Това (inorder) обхождане на многоканално търсещо дърво нарежда ключовете в растящ ред.

• За всеки вътрешен възел с деца v₁, v₂, …, v_d и ключове k₁, k₂, …, k_d−1 когато:
• k = k_i (i = 1, …, d − 1): търсенето завършва успешно;
• k < k₁: търсенето продължава с детето v₁;
• k_i−1 < k < k_i (i = 2, …, d − 1): търсенето продължава с детето v_i;
• k > k_d−1: търсенето продължава с детето v_d.
• Достигането до външен възел завършва търсенето неуспешно.
• Пример: search 30, search 20
  

30 > 24 - дясно, 27 < 30 < 32 - долу, 30 = 30 - намерен ключ
11 < 20 < 24 - долу, 20 > 15 - дясно - листо, няма такъв ключ

(2,4) дървета

Дефиниция

• (2,4) дърво (2-4 дърво или 2-3-4 дърво) е  многоканално търсещо дърво със следните свойства:
• Размер на възел (Node-Size Property):  всеки вътрешен възел има най-много четири деца (и най-малко две).
  
• Дълбочина (Depth Property): всички външни възли имат еднаква дълбочина.
• В зависимост от броя на децата, вътрешен възел на (2,4) дърво може да бъде 2-възел, 3-възел или 4-възел.

Пример: {10,15,24}({2,8}, {12}, {18}, {27,32})

• Теорема: (2,4) дърво с n члена има височина O(log n).
• Доказателство:
• Нека h е височината на (2,4) дърво с n ключа.
  
• Тъй като има най-малко 2ⁱ ключове на дълбочина i = 0, … , h −1 и няма ключове на дълбочина h, имаме
  
  n ≥ 1 + 2 + 4 +… + 2^h−1 = 2^h − 1
• Следователно h ≤ log (n + 1).
• Търсене в (2,4) дърво с n ключа отнема време O(log n).
  

• Вмъкваме (добавяме) нов член (k, e) към възела, който е родител v на листoто, достигнато при търсенето на ключ k.
• Свойството дълбочина се запазва.
• Може да възникне претоварване (overflow), т.е. възел v може да стане 5-възел.
• Пример: вмъкване на ключ 30 предизвиква претоварване
  

• Решение на претоварването е прилагане на операция разделяне (split):
• Нека v₁, …, v₅ са децата на v и k₁, …, k₄ са ключовете на v.
• Възел v заместваме с възли v' и v".
• v' е 3-възел с ключове k₁, k₂ и деца v₁, v₂, v_3.
• v" е 2-възел с ключ k₄ и деца v₄, v_5.
• Ключ k₃ се вмъква в родителя u на v, като може да възникне нов корен.
• Препълване може да се появи в родителския възел u, за който трябва отново да се приложи операция разделяне.
  
• Препълването може да се разпространи до корена на дървото.

• Нека T е (2,4) дърво с n ключа.
• Дървото T има височина  O(log n).
  
• Търсенето е за време O(log n), защото се посещават O(log n) възли.
• Възстановяването на свойството "размер за възел" (Node-Size Property) става за време O(log n), защото всяка операция разделяне (split) отнема време O(1) и се прилага не повече от O(log n) пъти.
• Следователно вмъкването в (2,4) дърво става за време O(log n).
  

• Нека ключът, който ще изтриваме е във възел с дете лист, в противен случай заместваме ключа с неговия наследник (или предшественик) при inorder обхождане на дървото (ключовете) и след това го премахваме.
• Пример: за да изтрием ключ 24, го заместваме с 27 (inorder наследник)

• Изтриване на ключ от възела v може да доведе до изпразване (underflow), когато v става 1-възел с едно дете и без ключове.
• За справяне с изпразването се разглеждат два случая:
• Случай 1: съседен брат/сестра на v е 2-възел
• Операция стопяване (fusion):

1. слива се v със съседния брат/сестра w;
2. премества се ключ от u в слетия възел v'.

• Случай 2: съседния брат/сестра w на v е 3-възел или 4-възел
• Операция трансфер (transfer):

1. премества се детето на w и то става дете на v;
2. премества се ключ от u във v;
3. премества се ключ от w в u.

• Нека T е (2,4) дърво (речник) с n члена (ключа).
  
• Дървото T има височина O(log n).
  
• За операция изтриване:
• Посетени са O(log n) възли за да се намери възела, от който ще бъде изтрит ключ.
• Препълване се обработва с редица от най-много O(log n) операции стопяване, следвани от най-много една операция трансфер.
• Всяка една операция стопяване или трансфер отнема време O(1).
  
• Следователно премахването на ключ от (2,4) дърво отнема време O(log n).

B-Trees - визуализация

Червено-черни дървета

Дефиниция

• Червено-черно дърво е представяне на (2,4) дърво посредством двоично дърво, чийто възли са оцветени червено или черно.
• В сравнение с неговото асоциирано (2,4) дърво, червено-черното дърво има:
• същото логаритмично време за изпълнение на основните операции на речник АТД;
• по-лесно се реализира с еднотипни (с точност до цвят) възли.

• Червено-черно дърво може да бъде дефинирано като двоично дърво със следните свойства:
• Root Property: коренът е черен;
• External Property: листата са черни;
• Depth Property: всички листа имат еднаква черна дълбочина;
• Internal Property: децата на червен възел са черни.

Представяне на червено-черно дърво: черните възли са bold, а червените - italic. Външните възли не са включени в представянето.

Пример:  червено-черно дърво: 9(4(2, 6(7)), 15(12, 21))   <->   (2, 4) дърво {4, 9}({2}, {6, 7}, {12, 15, 21})

• Теорема: Червено-черно дърво с n члена (ключа) има височина O(log n).
• Доказателство:
• Височината на червено-черно дърво е най-много два пъти височината на (2,4) дърво, която е O(log n).
• Алгоритъмът за търсене в червено-черно дърво е същия, както в двоично търсещо дърво и отнема време O(log n).
  

• За да вмъкнем (добавим) член с операция insertItem(k, e), изпълняваме алгоритъма "вмъкване" за двоично търсещо дърво и оцветяваме новия възел z червен, ако z не е корен.
• Така запазваме първите три свойства на червено-черно дърво.
• Ако родителят v на z е черен, то и последното свойство е изпълнено.
• Ако родителят v на z е червен, имаме двойно червено (т.е. нарушаване на последното свойство), което изисква реорганизация на дървото.
• Пример: вмъкване на ключ 4 поражда двойно червено:

• Нека имаме двойно червено с дете z и родител v, и нека w е братът/сестрата на v:

	Случай 1: w е черен:  Двойнo червено е неправилно представяне на 4-възел в (2,4) дърво. С операция реконструкция (restructuring) променяме представянето на 4-възел в  (2,4) дърво.
	Случай 2: w е червен: Двойно червено съответства на препълване в (2,4) дърво. Операция преоцветяване (recoloring) е еквивалентна на операция разделяне (split) на 5-възел в  (2,4) дърво.

• Случай 1: Реконструкция (restructuring) на двойно червено, когато червеният родител v има черен брат/сестра w.

• Има 4 конфигурации в зависимост от това дали  двойното червено е ляво или дясно (дясно-ляво, ляво-дясно, ляво-ляво и дясно-дясно).

• Случай 2: Преоцветяване (recoloring) на двойно червено, когато червеният родител има червен брат/сестра.
• Родителят v и неговият брат/сестра w стават черни, възелът дядо/баба u става червен, освен ако не е корен.
• Двойното червено може да разпространи по пътя към корена.

• Височината на червено-черно дърво е O(log n).
  
• Търсенето отнема време O(log n), защото са посетени O(log n) възли.
• Вмъкване в двоично дърво отнема време O(1).
  
• Възстановяването на червено-черното дърво отнема време O(log n) защото:
• O(log n) преоцветявания, всяко от които отнема време O(1) и
  
• най-много една реконструкция за време O(1).
  
• Следователно операция вмъкване в червено-черно дърво отнема време O(log n).
  

• Първа стъпка на операцията remove(k) е изпълнение на алгоритъма за изтриване в двоично дърво за търсене.
• Нека v е вътрешен възел за изтриване, w е дете на v за изтриване и r е брат/сестра на w.
• Ако v или r е червен, оцветяваме r в черно и сме готови.
• Ако v и r са черни, оцветяваме r в черно и получаваме двойно черно, което нарушава последното свойство и трябва да реорганизираме дървото.
• Пример: Изтриването на ключ 8 води до двойно черно.

• Алгоритъмът за решаване на двойно черно за възел r с брат/сестра y се разделя на 3 случая:
• Случай 1: y е черен и има червено дете
• Изпълняваме реконструкция (restructuring), еквивалентна на трансфер (transfer), и сме готови.
• Случай 2: y е черен и неговите деца са черни.
• Изпълняваме преоцветяване (recoloring), еквивалентно на стопяване (fusion) в (2,4) дърво, след което двойно черно може да се разпространи към корена на дървото.
• Случай 3: y е червен.
• Изпълняваме нагласяване (adjustment), еквивалентно на избор на друго представяне на 3-възел, след което ще се появи Случай 1 или Случай 2.
• Изтриване в червено-черно дърво отнема време O(log n).