12. Динамично оптимиране

План:
Задачи 13 и 14
Задача за раницата
"Лесна" задача
Най-дълга обща подредица
Задачи 15 и 16

Задача за раницата [8.2.1] (Knapsack_problem)

Дадена е раница с вместимост M килограма и N предмета, всеки от които се характеризира с две числа - тегло m_i и стойност c_i. Да се избере такова множество от предмети, чиято стойност е максимална, а сумата от теглата не надвишава M.

Дефинираме рекурентна целева функция:

Методът на динамичното оптимиране изисква последователно пресмятане на стойностите на F(i), като за това пресмятане се използват вече пресметнатите стойности за по-малки i.

Програма на С++ за решаване на задачата.

Да разгледаме примера:

N = 8;
index  1  2  3  4  5  6  7  8
m[8]   3, 7, 6, 1, 2, 4, 5, 5
c[8]   5, 3, 9, 1, 1, 2, 5, 2
M = 8;

Fn[0] = 0;
Fn[1] = max{c[4]+Fn[0]} = 1;   
       set[1][4]=1;    set[1] = {0,0,0,1,0,0,0}

Fn[2] = max{c[4]+Fn[1], c[5]+Fn[0]} = 1
       set[2][5]=1;    set[2] = {0,0,0,0,1,0,0}

Fn[3] = max{c[1]+Fn[0], c[4]+Fn[2], c[5]+Fn[1]} = 
        max{5   +0,     1   +1,     1   +1} = 5
       set[3][1]=1;    set[3] = {1,0,0,0,0,0,0}

Fn[4] = max{c[1]+Fn[1], c[4]+Fn[3], c[5]+Fn[2], c[6]+Fn[0]} = 
        max{5   +1,     1   +5,     1   +1,     2   +0} = 6
       set[4][1]=1;    set[4] = {1,0,0,1,0,0,0} 

Fn[5] = max{c[1]+Fn[2],c[4]+Fn[4],c[5]+Fn[3],c[6]+Fn[1],c[7]+Fn[0],c[8]+Fn[0]} = 
        max{5   +1,    1   +6,    1   +5,    2   +1,    5   +0,    2   +0} = 6
       set[5][1]=1;    set[5] = {1,0,0,0,1,0,0}

Fn[6] = max{c[1]+Fn[3],c[3]+Fn[0],c[4]+Fn[5],c[5]+Fn[4],c[6]+Fn[2],c[7]+Fn[2],c[8]+Fn[1]} = 
        max{5   +5,    9   +0,    1   +5,    1   +6,    2   +1,    5    +1,   2   +1} = 9
       set[6][3]=1;    set[6] = {0,0,1,0,0,0,0}

Fn[7] = max{c[1]+Fn[4],c[2]+Fn[0],c[3]+Fn[1],c[4]+Fn[6],c[6]+Fn[5],c[7]+Fn[2],c[8]+Fn[2]} = 
        max{5   +6,    5   +0,    9   +1,    1   +9,    2   +6,    5   +1,    2   +1} = 10
       set[7][3]=1;    set[7] = {0,0,1,1,0,0,0}

Fn[8] = max{c[1]+Fn[5],c[2]+Fn[1],c[3]+Fn[2],c[4]+Fn[7],c[6]+Fn[4],c[7]+Fn[3],c[8]+Fn[3]} = 
        max{5   +6,    5   +1,    9   +1,    1   +10,   2   +6,    5   +1,    2   +1} = 10
       set[8][3]=1;    set[8] = {0,0,1,0,1,0,0}

Варианти на алгоритъма за решаване на задчата:

• с пресмятане на решението за всички стойности на капацитете
• без пресмятане на всички стойности на капацитета

Варианти на задачата за раницата:

• с определен брой предмети от всеки вид
• с неограничен брой предмети от всеки вид

"Лесна" задача

                Веднъж малкото бяло зайче, гонено от един ловец попаднало в лабиринт, които имал форма на квадратна дъска N x N. В него чакал големия лош вълк, които предварително изкопал дупки, където зайчето да падне и той да го хване по-лесно. В последния момент зайчето с ужас разбрало, че може да се движи само в посока надолу и надясно и че изхода от лабиринта е чак в долния десен ъгъл на дъската.

                Зайчето трябвало да разбере каква е вероятността да излезе от лабиринта без да падне в някоя дупка. За целта трябвало да изчисли броя пътища от входа до изхода на лабиринта, като успяло да се снабди с картата на този лабиринт. Картата е зададена с размер N, като местата на дупките са означени с 0, а проходимите места с 1. Напишете програма, която пресмята търсения брой пътища.

F(i,j) = F(i-1,j) + F(i, j-1)
F(0,j) = 1
F(i,0) = 1

Най-дълга обща подредица [8.2.6]

Дадени са две редици (от числа или символи):

Търси се най-дълга редица Z = (z₁, z₂, ..., z_k), която е подредица на X  и Y едновременно. Z е подредица на  X, ако Z може да бъде получена чрез премахване на (0 или няколко) членове на X.

Най-напред ще търсим само дължината на най-дългата обща подредица. Ще приложим метода на динамичното оптимиране, като F(i, j) е търсената дължина за първите i члена на редицата X и първите j члена на редицата Y. Очевидно
    F(i,0) = 0 за всяко i, F(0, j) = 0 за всяко j.
    F(i, j) = F(i -1, j -1) + 1 за x_i = y_j,
    F(i, j) = max {F(i -1, j), F(i, j -1)} в противен случай.
Намираме последователно стойностите на F(i, j) и последната намерена стойност F(m,n) е решението на задачата.

Намирането на една най-дълга подредица (може да не е една) става по същия начин, като тръгваме от последния елемент и следим откъде идва максималната стойност.