7. Дървета - втора част

Двоични дървета

Двоично дърво е дърво със следните свойства: Всеки вътрешен възел има две деца. Децата на възел са наредена двойка. Ще наричаме децата на вътрешен възел ляво дете и дясно дете. Алтернативна рекурсивна (рекурентна) дефиниция: двоично дърво е или дърво, състояща се от един възел (корен) или дърво, чийто корен има наредена двойка наследници (ляво и дясно поддърво), всеки от които е двоично дърво.

Двоично дърво, свързано с аритметичен израз: вътрешни възли - операции; външни възли - операнди (аргументи). Пример: дърво за аритметичния израз 2 * (a −1) + (3 * b)

Двоично дърво свързано с вземане на решение:                                  вътрешни възли - въпроси с отговор да/не; външни възли - решения. Пример: решение за хранене

Двоично дърво АТД

• Двоично дърво АТД (BinaryTree ADT) разширява дърво AТД, т.е. то наследява всички методи на дърво АТД.
• Допълнителни методи:
• Position leftChild(p)
• Position rightChild(p)
• Position sibling(p)
• Методи за промяна на дървото се определят от структурата за конкретната реализация на двоично дърво АТД.
  

• BinaryTree.cpp

Свойства на двоичните дървета

1. Броят на външните възли e на T е: h + 1 ≤ e ≤ 2^h
2. Броят на вътрешните възли i на T е: h ≤ i ≤ 2^h − 1
3. Общият брой на възлите n на T е: 2h + 1 ≤ n ≤ 2^h+1 − 1
4. Височината h на T е: log(n + 1) − 1 ≤ h ≤ (n − 1)/2

Означения: n - брой на възлите; e - брой на външните възли; i - брой на вътрешните възли; h - височина на дървото. Свойства: e = i + 1 n = 2e − 1 h ≤ i h ≤ (n − 1)/2 e ≤ 2h h ≥ log2e h ≥ log2(n + 1) − 1

Обхождане на двоично дърво

void binaryPreorderPrint(const Tree& T, const Position& v) 
{ cout << v.element();		// print element
  if (isInternal(v))		// visit children
  {  cout << " ";
     binaryPreorderPrint(T, T.leftChild(v));
     binaryPreorderPrint(T, T.rightChild(v));
  }
}

void binaryPostorderPrint(const Tree& T, const Position& v) 
{ if (isInternal(v))    // visit children
  { cout << " ";
    binaryPostorderPrint(T, T.leftChild(v));
    binaryPostorderPrint(T, T.rightChild(v));
  }
  cout << v.element(); // print element
}

Специализация на postorder обхождане: рекурсивен метод, връщаш стойността на аритметичния израз в поддървото; при посещение на вътрешен възел се извършва аритметично действие с аргументи стойностите на двете поддървета. Време за изпълнение O(n) (линейно). 2*(5 - 1) + 3*2

При Inorder обхождане възелът се посещава след лявото му поддърво и преди дясното му поддърво. Приложение: чертаене на двоично дърво x(v) = inorder ранг на v y(v) = дълбочина на v Посещения отляво-надясно. (1, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (5, 3), (6, 0), (7, 2), (8, 1), (9, 2)

void binaryInorderPrint(const Tree& T, const Position& v) 
{ if (isInternal(v))        // visit left child
     binaryInorderPrint(T, T.leftChild(v));
  cout << v.element();      // print element
  if (isInternal(v))        // visit right child
     binaryInorderPrint(T, T.rightChild(v));}

• елементите от лявото поддърво на v са по-малки от или равни на e и
• елементите от дясното поддърво на v са по-големи от или равни на e.

Пример: Двоичното дърво е: 6(2(1, 4), 9(8,-))

Търсим 4: 4 < 6 - ляво 4 > 2 - дясно 4 = 4 - намерено! Търсим 7: 7 > 6 - дясно 7 < 9 - ляво 7 < 8 - ляво листо - няма!

Position searchBinaryTree(const Tree& T, const Position& v, const Object& e)
{ if (isInternal(v))
    if (v.element() == e) return v;                 // found!
    else if (v.element() < e)
         searchBinaryTree(T, T.leftChild(v), e);    // search left subtree
    else searchBinaryTree(T, T.rightChild(v), e);   // search right subtree
  else return ...                                   // not found!
}

Обобщено обхождане на двоично дърво. Съдържа като специални случи preorder, postorder и inorder обхождания. Разходка около дървото с посещение на всеки възел три пъти:: L - отляво (preorder) B - отдолу (inorder) R - отдясно (postorder)

Структури от данни за представяне на дървета

Вектор-базирана структура за двоични дървета

Позициите са представени като рангове (индекси) на вектор (масив).

4 успоредни вектори, например: - obj съдържа обектите на контейнера; - pred съдържа ранга на родителя; - left съдържа ранга на лявото дете; - right съдържа ранга на дясното дете. rank:   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 obj:    - A B C D E F G H I pred:   - - 1 1 2 2 3 3 5 5 left:   - 2 4 6 - 8 - - - - right:  - 3 5 7 - 9 - - - - Или един вектор от обекти: (A,-,2,3), (B,1,4,5), (C,1,6,7),(D,2,-,-), (E,2,8,9), (F,3,-,-), (G,3,-,-), (H,5,-,-), (I,5,-,-)

Свързана структура за двоични дървета

• Възел е представен като обект, който съдържа:
• елемент;
• връзка към родител;
• връзка към ляв наследник;
• връзка към десен наследник.
• Обектите-възли са представени като позиции АТД.

• void expandExternal(const Position& v)
• Position removeAboveExternal(const Position& v)   

• Възел е представен като обект, който съдържа:
  
• елемент;
• връзка към родител;
• редица от връзки към наследници.
• Възлите са представени като позиции АТД.

Представяне на дърво с двоично дърво

• На всеки възел u от T съответства вътрешен възел u' от T '.
• Ако u е външен възел на T и няма брат/сестра непосредствено след него/нея (в наредбата на децата), то децата на u' са външни възли на T '.
• Ако u е вътрешен възел на T и v е първо дете на u в T, то v' e ляво дете на u' в T '.
• Ако възел v има брат/сестра w непосредствено след него/нея, тогава w' е дясно дете на v' в T '. 

Допълнителни връзки: