2. Оценка и сложност на алгоритми [1.4]. Бройни системи [1.1.6].

***Оценка и сложност на алгоритми

cin >> n;
sum = 0;
for (i=0; i<n; i++)
 for (j=0; j<n; j++) sum++;
 

 Размер на входните данни

* Нека е дадена задача, в която размерът на входните данни е определен от дадено цяло число n.
* Почти всички задачи, които ще разглеждаме, притежават това свойство.
* Ще поясним последното като разгледаме няколко примера:

Пример 1.
Да се сортира масив с n елемента.
Размерът на входните данни се определя от броя n на елементите на масива .

Пример 2.
Да се намери най-големият общ делител на a и b.
В този пример размерът на входните данни се определя от броя на двоичните цифри (битовете) на по-голямото от числата a и b.

Пример 3.
Да се намери покриващо дърво на граф.
В този случай характеризираме размера на входа с две числа: брой на върховете и брой на ребрата.

Асимптотична нотация

* Когато се интересуваме от сложността на алгоритъм най-често се интересуваме как ще работи при достатъчно голям размер n на входните данни.
* При формалното оценяване на сложността на алгоритмите изследваме поведението им при "достатъчно голямо" n (клонящо към безкрайност).

1. O(f) определя множеството от всички функции  g, които нарастват не по-бързо от f, т.е. съществува константа c > 0 такава, че g (n) <= cf(n), за всички достатъчно големи стойности на n.

2. Theta (f) определя множеството от всички функции g, които нарастват толкова бързо, колкото и f (с точност до константен множител), т.е. съществуват константи c₁ > 0 и c₂ > 0 такава, че c₁f(n) <=  g (n) <= c₂f(n), за всички достатъчно големи стойности на n.

3. Omega (f) определя множеството от всички функции g, които нарастват не по-бавно от f, т.е. съществува константа c > 0 такава, че g(n) >= cf(n), за всички достатъчно големи стойности на n.

O(f): Свойства и примери

* Нотацията О(f) е най-често използваната при оценка на сложност на алгоритми и програми.
* По-важни свойства на О(f) (с ~ означаваме принадлежност):

Нарастване на най-често използваните функции:

** Определяне на сложност на алгоритъм.
* Намиране на функцията, определяща зависимостта между големината на входните данни и времето за изпълнение.
* Винаги разглеждаме най-лошия случай - при най-неблагоприянти входни данни.
- елементарна операция - не зависи от размера на обработваните данни - O(1) ;
- последователност от оператори - определя се от асимтотично най-бавния -  f + g ~ max(O( f ), O(g));
- композиция на оператори - произведение от сложностите - f (g) ~ O( f*g);
- условни оператори - определя се от асимтотично най-бавния между условието и различните случаи;
- цикли, два вложени цикъла, p вложени цикли - O(n), O(n²), O(n^p) .

// 1
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < n; j++, sum++);
// 2
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < n; j++) if (a[i] == b[j]) return;
// 3
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < n; j++) if (a[i] != b[j]) return;
// 4
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < n; j++) if (a[i] == a[j]) return;
// 5
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < i; j++) sum++;
// 6
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < n*n; j++) sum++;
// 7
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < i*i; j++) sum++;
// 8
for (i = 0; i < n; i++)
 for (j = 0; j < i*i; j++)
   for (k = 0; k < j*j; k++) sum++;

Логаритмична сложност.

Да разгледаме цикъла:
for (sum = 0, i = 0; i < n; i *= 2) sum++;
Променливата i приема стойности 1, 2, 4, ..., 2^k, ...  докато надмине n. Цикълът се изпълнява [log n] пъти. Сложността е O(log n).

Изчисляване на сложност при рекурсия.
* Двоично търсене в сортиран масив - рекурсивен алгоритъм. 

int binary_search(vector<int> v, int from, int to, int a)
{  
   if (from > to)
      return -1;
   int mid = (from + to) / 2;
   if (v[mid] == a)
      return mid;
   else if (v[mid] < a)
      return binary_search(v, mid + 1, to, a);
   else
      return binary_search(v, from, mid - 1, a);
}

* Броим обръщенията към елементите на масива.
* В рекурсивната функция се разглежда средния елемент и се прави едно рекурсивно извикване с два пъти по-малък масив.
* Следователно, ако T(n) е функцията, която задава броя на обръщенията, то T(n) = T(n/2) + 1.
* От равенствата
                T(n) = T(n/2) + 1 = T(n/4) + 2 = T(n/8) + 3 = ... = T(n/2^k) + k
получаваме за n = 2^k, че  T(n) = T(1) + log n, т.е. сложността на алгоритъма е O(log n).

• най-лошия случай
• най-добрия случай
• средния случай

*** Бройни системи [1.1.6]

Бройни системи (eng)

• Позиционни и непозиционни бройни системи
• Арабски и римски цифри

• Представяне на числата в двоична бройна система
• Превръщане от десетична в двоична система и обратно
• Събиране и изваждане в двоична система
• Шестнадесетична бройна система
• p-ична бройна система, формула на Хорнер (eng)

Пример за задача за домашно

Задача 0. Да се напише програма за превръщане на естествено число от десетична в двоична бройна система и обратно.

Вход:
На стандартния вход за един тестов пример на един ред се задава основата на бройната система (2 или 10) и редица от числа в тази бройна система. Входът съдържа много тестови примери.

Ограничения:
 Всички числа са по-малки от 10⁵.

Изход:
За всеки тестов пример на отделен ред се отпечатва основата на бройната система (2 или 10) и редицата от задените числа в тази бройна система.

Пример:
10 8 1 2
2 1000
2 1 10 111 1111

Решение на примера:
2 1000 1 10
10 8
10 1 2 15 63

Програма:

// f12345_0.cpp
#include <iostream>
#include <string>
#include<sstream>
using namespace std;

string ten2two(int n)
{
    string m;
    while (n >= 1)
    {
        m = static_cast<char>((n%2) + '0') + m;
        n /=2;
    }
    return m;
}

int two2ten(string s)
{
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) m = 2*m + (s[i] - '0');
    return m;
}

int main()
{
    string s;
    while(getline(cin, s))
    {
        int p;
        istringstream is(s);
        is >> p;
        int n;
        string sn;
        if (p == 10)
        {
            cout << "2 ";
            while(is >> n)
                cout << ten2two(n) << " ";
        }
        else
        {
            cout << "10 ";
            while(is >> sn)
                cout << two2ten(sn) << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

Проверка:
mini:CSCB324 nkirov$ ./ad.sh 0 12345

Скрипт за проверка:
c++ f$2_$1.cpp
time ./a.out < $1.inp
./a.out < $1.inp > $1s.sol
rm a.out
diff $1s.sol $1.sol