9. Приоритетна опашка - втора част

Хип

• Ефективна реализация на приоритетна опашка използва (нелинейна) структура от данни, наречена хип (купчина) - и двете основни операции (вмъкване и изваждане) се изпълняват за логаритмично време O(log n).

• Хип е двоично дърво, пазещо ключове във вътрешните възли и имащо следните свойства:
• Хип-наредба (Heap-Order): за всеки вътрешен възел v който не е корена, key(v) ≥ key(parent(v));
• Пълно двоично дърво (Complete Binary Tree): нека h е височината на дървото
• за i = 0, … , h − 2, има 2ⁱ възела е дълбочина i;
• за дълбочина h − 1, вътрешните възли са наляво от външните възли.
• Последен възел (last node) на хипа е най-десния вътрешен възел на дълбочина h − 1.

• Тъй като има 2ⁱ ключове с дълбочина i = 0, … , h −2 и поне един ключ с дълбочина h −1, имаме n ≥ 1 + 2 + 4 +… + 2^{h −2} + 1 =  2^{h −1}, следователно n ≥ 2^{h − 1}, т.е. h ≥ log n + 1.
• От свойствата на пълно двоично дърво - има 2^{h − 1}  ключове с дълбочина h −1, имаме n ≤ 1 + 2 + 4 +… + 2^{h −1} =  2^h −1, следователно n ≤ 2^h −1, т.е. h ≤ log (n + 1).

Реализация на приоритетна опашка с хип

• Използва се хип за реализация на приоритетна опашка.
  
• Обектите (key, element) се пазят във  вътрешните възли.
• Запазва се позицията на последния възел.

  Представяне на хип с вектор

• Ще представим хип с n ключове като вектор с дължина n + 1.
• За възел с ранг i
• лявото дете е с ранг 2i,
• дясното дете е с ранг 2i +1.
• Връзките между възлите не се пазят директно.
• Листата на дървото не са представени във вектора.
• Клетката с ранг 0 не се използва.
• Операция insertItem съответства на вмъкване с ранг n + 1.
• Операция removeMin съответства на премахване с ранг 1.
• Получаваме хип сортиране "на място" (без допълнителна памет).

Вмъкване

• Методът insertItem на приоритетна опашка АТД съответства на добавяне на ключ k към хипа.
• Алгоритъмът за добавяне се състои от 3 стъпки:
• намиране на възел за вмъкване z (нов последен възел);
• Записваме k в z и разширяваме z до вътрешен възел;
• Възстановяваме хип-наредбата (дадено по-долу).

• След вмъкване на нов ключ k, хип-наредбата може да се наруши.
• Алгоритъмът "бълбукане нагоре" (upheap) възстановява хип-наредбата чрез размяна на k по пътя нагоре (към корена на дървото) от възела на вмъкване.
  
• Размяната се прекратява, когато ключът k достигне корена или възел, чийто родител е с  ключ по-малък или равен на k.
• Тъй като хипът има височина O(log n), алгоритъмът "бълбукане нагоре" се изпълнява за време O(log n).

• Методът removeMin на приоритетната опашка АТД съответства на премахване на ключа на корен от хипа.
• Алгоритъмът за премахване се състои от 3 стъпки:
• Заместване на ключа на корена с ключа на последния възел w.
• Свиваме w и неговите деца в едно листо.
• Възстановяваме хип-наредбата (дадено по-долу).

• След заместване на ключа на корена с ключа k на последния възел, хип-наредбата може да се наруши.
• Алгоритъмът "бълбукане надолу" (downheap) възстановява хип-наредбата чрез размяна на ключа k по пътя надолу (към листата) от корена.
• Размяната се прекратява когато k достигне листо или възел, чийто деца имат ключове по-големи или равни на k
• Тъй като хипът има височина O(log n), алгоритъмът "бълбукане надолу" се изпълнява за време O(log n).

• Разглеждаме приоритетна опашка с n обекти, реализирана като хип:
• използваната памет е O(n);
• методите insertItem и removeMin отнемат време O(log n).
• методите size, isEmpty, minKey и minElement отнемат време O(1).
• Използвайки реализирана с хип приоритетна опашка, можем да сортираме множество от n елемента за време O(n log n).
• Получения алгоритъм се нарича сортиране с хип.
• Сортирането с хип е много по-бързо, отколкото квадратичните алгоритми за сортиране, като вмъкване и избор.

HeapSort