Chapter 9 bg

13. Търсещи дървата - първа част

Ще бъдат изучени няколко структури от данни, базирани на дървета за реализиране наредени речници.
Основните операции нареден речник АТД са:

find(k) - Връща позицията на елемент с ключ k или nullposition, ако няма такъв ключ.
findAll(k) - Връща позиционен итератор за всички обекти с ключ k.
insertItem(k,e) - Вмъква обект (двойка) с елемент e и ключ k.
removeElement(k) - Изтрива обект с ключ k. Възниква грешка, ако няма такъв елемент.
removeAllElements(k) - Изтрива всички обекти, чийто ключ е равен на k.
closestBefore(k)- Връща позиция на обект с най-голям ключ, по-малък или равен на k.
closestAfter(k) - Връща позиция на обект с най-малък ключ, по-голям или равен на k.

Двоични дървета за търсене

(8. Дървета - втора част)

Двоично дърво за търсене е двоично дърво за съхранение на ключове (или двойки ключ-елемент) в своите вътрешни възли, които имат следното свойства:

Нека u, v и w са върхове на дървото такива, че u е в лявото поддърво на v и w е в дясното поддърво на v.
Тогава key(u) ≤ key(v) ≤ key(w);
Външните възли не съхраняват ключове.

Inorder обхождане посещава ключовете на речника в ненамаляващ ред.

Търсене

За търсене на ключ k, се върви по път надолу, тръгвайки от корена.
Следващ възел за посещение зависи от резултата от сравнението на k с ключа в текущия възел.
Ако се достигне листо, ключът не е намерен и се връща nullposition.

Algorithm find (k, v)
    if T.isExternal (v)
        return Position(null)
   if k < key(v)
        return find(k, T.leftChild(v))
   else if k = key(v)
        return Position(v)
   else { k > key(v) }
return find(k, T.rightChild(v))

Пример: find(4)

Функцията find(k) на речника D се изпълнява за време O(h), където h е височината на двоичното търсещо дърво T, използвано за реализацията на D.

Операции за обновяване (актуализиране)

Вмъкване

За да се изпълни операция insertItem(k, e), се търси с ключ k.
Нека k не е в дървото и нека w е листото, достигнато при търсенето.
k се поставя във възел w и w се разширява до вътрешен възел (операция expandExternal(w) на двоично дърво АТД).

Пример: insert 5

Изтриване

За да се изпълни операция removeElement(k), се търси с ключ k.
Нека ключ k е в дървото и нека v е възелът, съхраняващ k.
Ако възел v има дете листо w, изтриват се v и w от дървото (операция removeAboveExternal(w) на двоично дърво АТД).

Пример: remove 4

Нека ключът k за изтриване се съхранява във възел v, чийто деца са вътрешни възли.

Намира се вътрешен възел w, който следва v в inorder обхождане на дървото.
Копира се key(w) във възела v.
Изтрива се възел w и неговото ляво дете z (което е листо) с операция removeAboveExternal(z).

Пример: remove 3

Най-добър и най-лош случай

Даден е речник с n членове, реализиран като двоично търсещо дърво с височина h.

Използваната памет е O(n).
Методите findElement(), insertItem() и removeElement() отнемат време O(h).

Височината на дървото е O(n) в най-лошия случай и O(log n) в най-добрия случай.

Binary Search Tree - визуализация

Binary Search Tree - лекция на "разбираем" английски

Binary Search Trees, BST Sort - лекция в MIT

C++ реализация

A Binary Search Tree in C++
html-9.2 (Position)
html-9.3 (BST1)
html-9.4 (BST2)
html-9.5 (BST3)
html-9.6 (BST4)

except.h - LBTree.h - BSTree.cpp

AVL дървета

Свойство височинен баланс (Height-Balance Property): За всеки вътрешен възел v от T разликата във височините на децата му може да бъде най-много 1.
AVL дърво е двоично търсещо дърво със свойството височинен баланс.
Adel'son-Vel'skii and Landis (Адельсон-Вельский, Ландис - 1968).
Един възел в балансиран, ако разликата във височините на децата му е най-много 1.
Твърдение: Височината на AVL дърво, съхраняващо n ключове е O(log n).

Вмъкване в AVL дърво

insertItem(k,e) (метод от базовия клас, вика се expandExternal(w) от двоично дърво АТД)
Височината на дървото може да се увеличи и да се наруши свойството "височинен баланс".
Ако има небалансиран възел:
- Нека z е първият небалансиран възел, който срещаме по пътя от w към корена на T.
- Нека y означава детето на z с по-голяма височина.
- Нека x е детето на y с по-голяма височина.

Тривъзелно преструктуриране (след вмъкване)

restructure(x)
Нека a, b, c са x, y, z в редицата при inorder обхождане.
Извършваме ротация на трите възела така, че b да е най-горе в дървото, т.е. b(a, c).
Пример:

Има 4 възможни начина за изобразяване на (x, y, z) в (a, b, c).

Пример:

Тъй като това преструктуриране може да нарушава баланса на друг възел по-високо в дървото, трябва да продължим проверката за баланс до достигане на корена на T.

Премахване на възел от AVL дърво

removeElement(k)
Премахването започва в двоичното търсещо дърво, което означава, че премахнатия възел става (празен) външен възел.
Неговият родител w може да стане небалансиран възел.
Пример:

Ребалансиране след премахване

restructure(x), както при вмъкване
- Нека z е първият небалансиран възел w по пътя от w към корена на дървото.
- Нека y е детето на z с по-голяма височина.
- Нека x е детето на y с по-голяма височина.
Изпълняваме операция restructure(x) за да възстановим баланса на z.
Тъй като това преструктуриране може да нарушава баланса на друг възел по-високо в дървото, трябва да продължим проверката за баланс до достигане на корена на T.

Времена за изпълнение на операциите на речник АТД с реализация като AVL дърво

Една реконструкция отнема време O(1)

като използваме реализация на двоично дърво със свързана структура

find е O(log n)

височината на дървото е O(log n), няма реконструкции

insert е O(log n)

началното търсене е O(log n)
преструктуриране нагоре по дървото - не повече от O(log n)

remove е O(log n)

началното търсене е O(log n)
преструктуриране нагоре по дървото - не повече от O(log n)

AVL tree - визуализация

AVL Trees, AVL Sort - лекция в MIT

C++ реализация

html-9.8 (AVL Item)
html-9.9 (AVL Tree 2)
html-9.10 (AVL Tree 1)