Chapter 3

Анализ на алгоритми

Алгоритъм е постъпкова процедура за решаване на задача за крайно време.

Повечето алгоритми трансформират входните обекти (данни) в изходните обекти (данни).

Експериментални изследвания

Напишете програма за изпълнение на алгоритъма.
Изпълнете програмата с входове с различна големина и от различен вид.
Използвайте функция, като вградената clock(), за да измерите действителното (чистото) време за работа на програмата.
Начертайте графика с резултатите.

Ограничения на експериментите

Необходимо е реализирането на алгоритъма, което може да е трудно.
Резултатите не могат да бъдат показателни за времето на работа за други входове (входни данни), които не са включени в експеримента.
За да се сравнят два алгоритъма, трябва да се използва един и същи хардуер и софтуер.

Време за изпълнение

Времето за работа на алгоритъма обикновено расте заедно с входния размер.
Различни входни данни с една и съща големина често дават различни времена.
Средното време за работа за даден размер обикновено се определя трудно.
Ще се фокусираме върху времето за работа в най-лошия случай:

лесно за анализиране;
от решаващо значение за приложения като игри, финанси и роботика.

Теоретичен анализ

Използва на високо ниво описание на алгоритъма, а не при изпълнението.

Характеризира времето за работа като функция T(n) на входния размер n.

Взема под внимание всички възможни входове.

Позволява да се оцени скоростта на алгоритъма независимо от хардуера и програмната среда.

Псевдокод

Псевдокод е програмен код, несвързан с хардуера на даден компютър и изискващ пренаписване на кода за компютър, преди програмата да може да се използва.
Няма строги правила за синтаксиса, предназначен е за хората, не за компютрите.

Описание на алгоритъма на високо ниво.
По-структуриран от човешки език.
С по-малко детайли от програма.
Предпочитан нотация за описване алгоритми.
Скрива някои проблеми, които възникват при писане на програма.

Пример: Намиране на най-голям елемент на масив.

Algorithm arrayMax(A, n) Input: array A of n integers Output: maximum element of A currentMax <- A[0] for i <- 1 to n−1 do if A[i] > currentMax then currentMax <- A[i] return currentMax

Детайли на псевдокода

Управляващи оператори

if…then…[else…] while…do… repeat…until… for…do…
Отместването замества скобите.

Дефиниране на метод

Algorithm method(arg[, arg…]) Input… Output…

Извикване на функция/метод

var.method (arg[, arg…])

Връщане на стойност

return expression

Изрази

<- Assignment (like = in C++)
= Equality testing (like == in C++)
n² - степени и др. математически означения са позволени.

Машина с пряк достъп - (RAM модел)

CPU.
Потенциално неограничена памет на клетки, всяка от които може да побере произволна цифра или символ.
Клетките са номерирани и достъп до всяка клетка от паметта се осъществява за единица време.

Елементарни операции (примитиви)

Основни изчисления, извършвани от алгоритъма.
Записвани (разпознавани) в псевдокода.
В голяма степен независими от езика за програмиране.
Точна дефиниция не е важна (ще видим защо по-късно).
Приемаме, че се изпълняват за константно време в RAM модела.

Примери:

Пресмятане на израз.

Присвояване на стойност на променлива.

Индексиране в масив.

Извикване на функция.

Връщане на стойност от функция.

Броене на елементарните операции

Чрез проверка на псевдокода можем да определим максималния брой на примитивните операции, извършвани от алгоритъма, като функция на входния размер.

Пример:

`Algorithm` `arrayMax(A, n)`	Брой на операциите
`currentMax <- A[0]`	2
`for i` `<- 1 to n−1 do`	2 + n
`if A[i] > currentMax then`	2(n − 1)
`currentMax` `<- A[i]`	2(n − 1)
`{increment counter i}`	2(n −1)
`return currentMax`	1
	Общо 7n − 1

Оценка на времето за изпълнение

Алгоритъмът arrayMax изпълнява 7n−1 елементарни операции в най-лошия случай. Дефинираме:

a = времето за изпълнение на най-бързата елементарна операция.
b = времето за изпълнение на най-бавната елементарна операция.

НекаT(n) е функцията, задаваща времето в най-лошия случай за arrayMax.
Тогава

a (7n − 1) ≤ T(n) ≤ b(7n − 1)

Следователно времето за работа T(n) е ограничено от две линейни функции.

Темп на растеж (Growth Rate) на времето за изпълнение (Running Time)

Промяната на хардуера и софтуера

се отразява на T(n) като умножение с константа, но
не променя темпа на растеж (growth rate) на T(n).

Линейната скорост на растеж на времето за работа на T(n) е присъщо (вътрешно) свойство на алгоритъма аrrayMax.

Темпове на растеж (скорост на нарастване)

Функция / n	1	2	10	100	1000
5	5	5	5	5	5
log n	0	1	3.32	6.64	9.96
n	1	2	10	100	1000
n log n	0	2	33.2	664	9996
n²	1	4	100	10⁴	10⁶
n³	1	8	1000	10⁶	10⁹
2ⁿ	2	4	1024	10³⁰	10³⁰⁰
n!	1	2	3628800	10¹⁵⁷	10²⁵⁶⁷
nⁿ	1	4	10¹⁰	10²⁰⁰	10³⁰⁰⁰

Константни фактори

Темпът на растеж не се влияе от

константни множители и
членове от по-нисък ред.

Примери:

10²n+10⁵е линейна функция
10⁵n²+10⁸n е квадратна функция

Асимптотична нотация

О-голямо (Big-Oh)

За функциите f(n) и g(n) казваме, че f(n) е O(g(n)), ако съществува положителна константа c и N > 0 такива, че f(n) < c g(n) за всяко n > N.

Пример 1: 2n +10 е O(n).
2n +10 ≤ cn; (c − 2) n ≥10; n ≥ 10/(c − 2).
Избираме c = 3 и N = 10.

Пример 2: Функцията n² не е O(n).
n² ≤ c n; n ≤ c.
Горното неравенство не може да бъде изпълнено, тъй като c трябва да бъде константа.

Пример 3: 7n - 2 е O(n).
Необходимо е c > 0 и N ≥ 1 да са такива, че 7n - 2 ≤ c n за n ≥ N.
Това е вярно за c = 7 и N = 1 (не са единствени!).

Пример 4: 3n³+ 20n²+ 5 is O(n³).
Необходимо е c > 0 и N ≥ 1 да са такива, че 3n³+ 20n²+ 5 ≤ cn³ за n ≥ N.
Това е вярно за c = 4 и N = 21.

Пример 5: 3 log n + log log n е O(log n).
Необходимо е c > 0 и N ≥ 1 да са такива, че 3 log n + log log n ≤ c log n за n ≥ N.
Това е вярно за c = 4 и N = 2.

Правила за О-голямо

Ако f(n) е полином от степен d, то f(n) е O(n^d), т.е.

1. премахваме членовете от по-нисък ред и
2. премахваме константите (константните множители).

Използваме най-малкия възможен клас от функции (препоръка и практика!).

“2n е O(n)” вместо “2n е O(n²)”.

Използваме най-простият израз на класа.

“3n + 5 е O(n)” вместо “3n + 5 е O(3n)”.

Асимптотичен анализ на алгоритми

Асимптотичен анализ на алгоритъм - определя времето за работа в О-голямо нотация.
За извършване на асимптотичния анализ:

            1. Намираме в най-лошия случай (най-лоши данни) броя на елементарните операции като функция на входния размер.
            2. Изразяваме тази функция с О-голямо нотация.

Пример:
    Определихме, че алгоритъмът arrayMax изпълнява най-много 7n−1 елементарни операции.
    Казваме, че алгоритъмът arrayMax “работи за време O(n)”.

Тъй като константите и членовете от по-нисък ред отпадат, можем да ги пренебрегнем, когато преброяваме примитивните операции.

Изчисляване на префиксни средни стойности

Ще илюстрираме асимптотичния анализ с два алгоритъма за префиксни средни.
i-тото префиксно средно на масива X е средното на първите (i+1) елемента на X е:

A[i]= (X[0] +X[1] +… +X[i])/(i+1)

Изчисляване на масива A от префиксно средни стойности на друг масив X има приложения във финансовия анализ.

Префиксни средни (квадратичен алгоритъм)

Следният алгоритъм изчислява префиксни средни за квадратично време, като прилага определението.

Algorithm prefixAverages1(X, n)Input array X of n integersOutput array A of prefix averages of XA <- new array of n intege еrsfor i <- 0 to n−1 do s <- X[0] for j<- 1 to i do s<- s+X[j] A[i] <- s/(i+1)return A #operations
nnn
1 + 2 + …+(n−1)
1 + 2 + …+(n−1)
n
1

Времето за изпълнение на prefixAverages1 е: O(1 + 2 + …+ n).

Сумата на първите n цели числа е n(n + 1) / 2.
Така алгоритъмът prefixAverages1 се изпълнява за време O(n²).

Префиксни средни (линеен алгоритъм)

Следният алгоритъм изчислява префиксни средни за линейно време, като поддържа текущите суми.

Algorithm prefixAverages2(X, n) Input array X of n integers Output array A of prefix averages of X A <- new array of n integers s <- 0 for i <- 0 to n−1 do s <- s + X[i] A[i] <- s/(i + 1) return A #operationsn1nnn
1

Така алгоритъмът prefixAverages2 се изпълнява за време O(n).

Роднини на О-голямо

Омега-голямо (Big-Omega)
f(n) е Ω(g(n)), ако съществува константа c > 0 и цяла константа N > 0 такива, че f(n) > c g(n) за всяко n > N.

Тита-голямо (Big-Theta)
f(n) е Θ(g(n)), ако съществуват константи c' > 0 и c" > 0 и цяла константа N > 0 такива, че c'g(n) < f(n) < c"g(n) за всяко n > N.

о-малко (little-oh)
f(n) е o(g(n)), ако за всяка константа c > 0, съществува цяла константа N > 0 такава, че f(n) < c g(n) за всяко n > N.

омега-малко (little-omega)
f(n) е ω(g(n)), ако за всяка константа c > 0, съществува цяла константа N > 0 такава, че f(n) > c g(n) за всяко n > N.

Интуиция за асимптотичната нотация

Big-Oh
f(n) е O(g(n)), ако f(n) е асимпотично по-малка или равна на g(n).

big-Omega
f(n) е Ω(g(n)), ако f(n) е асимпотично по-голяма или равна на g(n).

big-Theta
f(n) е Θ(g(n)), ако f(n) е асимпотично равна на g(n).

little-oh
f(n) е o(g(n)), ако f(n) е асимпотично строго по-малка от g(n).

little-omega
f(n)) е ω(g(n)), ако f(n) е асимпотично строго по-голяма от g(n).

Примери за използване на роднините на О-голямо

Пример 1: 5n² е Ω(n²).
f(n) е Ω(g(n)), ако съществува константа c > 0 и цяла константа N ≥ 1 такива, че f(n) ≥ c g(n) за всяко n ≥ N.
Нека c = 5 и N = 1.

Пример 2: 5n²е Ω(n).
f(n) е Ω(g(n)), ако съществува константа c > 0 и цяла константа N ≥ 1 такива, че f(n) ≥c g(n) за всяко n ≥ N.
Нека c = 1 и N = 1, 5n²≥ n.

Пример 3: 5n²е ω(n).
f(n) е ω(g(n)), ако за всяка константа c > 0 съществува цяла константа N ≥ 0 такава, че f(n) ≥c g(n) за всяко n ≥ N.
Необходимо е 5N² ≥ cN - вземаме c, след това избираме N такова, че да изпълнява неравенството N ≥ c/5 ≥ 0.