8. Сортиране и търсене

• Алгоритъмът се състои в следното: на всяка стъпка намираме най-малкия елемент (от ненаредената част на масива) и го поставяме на място (чрез размяна) в наредения масив.
  
• Пример:

  11

  9

  17

  5

  12

• Най-малкият елемент е 5 - поставяме го на първо място в масива. За да не загубим (изтрием) първия елемент 11, резменяме (swap) двата елемента.

  5

  9

  17

  11

  12

• Вземаме минимума на останалите 4 елемента a[1] ... a[4]. Той е на правилното място и не разменяме.

  5

  9

  17

  11

  12

• Повтаряме процеса с несортираната част от масива.

  5

  9

  11

  17

  12

• Продължаваме докато остане само един "несортиран" елемент.

  5

  9

  11

  12

  17

// selsort.cpp
01: #include <iostream>
02: #include <vector>
03: #include <cstdlib>
04: #include <ctime>
06: using namespace std;
08: /**
09:    Swaps two integers.
10:    @param x the first integer to swap
11:    @param y the second integer to swap
12: */
13: void swap(int& x, int& y)
14: {  int temp = x;
16:    x = y;
17:    y = temp;
18: }
20: /** 
21:     Gets the position of the smallest element in a vector range.
22:     @param a the vector
23:     @param from the beginning of the range
24:     @param to the beginning of the range
25:     @return the position of the smallest element in 
26:     the range a[from]...a[to]
27: */
28: int min_position(vector<int>& a, int from, int to)
29: {  int min_pos = from;
31:    int i;
32:    for (i = from + 1; i <= to; i++)
33:       if (a[i] < a[min_pos]) min_pos = i;
34:    return min_pos;
35: }
37: /** 
38:    Sorts a vector using the selection sort algorithm
39:    @param a the vector to sort
40: */
41: void selection_sort(vector<int>& a)
42: {  int next; /* the next position to be set to the minimum */
44: 
45:    for (next = 0; next < a.size() - 1; next++)
46:    {  /* find the position of the minimum */
48:       int min_pos = min_position(a, next, a.size() - 1);
49:       if (min_pos != next)
50:          swap(a[min_pos], a[next]);
51:    }
52: }
54: /** 
55:    Prints all elements in a vector
56:    @param a the vector to print
57: */
58: void print(vector<int> a)
59: {  for (int i = 0; i < a.size(); i++)
61:       cout << a[i] << " ";
62:    cout << "\n";
63: }
65: /**
66:    Sets the seed of the random number generator.
67: */
68: void rand_seed()
69: {  int seed = static_cast<int>(time(0));
71:    srand(seed);
72: }
74: /** 
75:    Computes a random integer in a range.
76:    @param a the bottom of the range
77:    @param b the top of the range
78:    @return a random integer x, a <= x and x <= b
79: */
80: int rand_int(int a, int b)
81: {  return a + rand() % (b - a + 1);  }
84: 
85: int main()
86: {  rand_seed();
88:    vector<int> v(20);
89:    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
90:       v[i] = rand_int(1, 100);
91:    print(v);
92:    selection_sort(v);
93:    print(v);
94:    return 0;
95: }

• За оценка на сложността (ефективността) на алгоритъма може просто се изпълни програмата и се измери с помощта на хронометър колко е  времето за изпълнението.
  
• Конструкторът по подразбиране на класа Time инициализира обект с текущото време. 

  Time now;

• Използваме два обекта от този клас за  измерване на времето за изпълнение на алгоритъма за сортиране.

  Time before;
  selection_sort(v);
  Time after;
  
  cout << "Elapsed time = " << after.seconds_from(before)
       << " seconds\n";
  

• sorttime.cpp
  
• Ето примерни резултати за Pentium III процесор на 750 MHz под Linux.
• Всъщност числата може да са различни, но връзката между числата ще бъде същата. Удвояването на размера на данните увеличава повече от 2 пъти времето, необходимо за сортирането им.
  

  n seconds 10000 1 20000 4 40000 15 60000 32 80000 57

  Резултати за 2.2 GHz  Intel Core 2 Duo CPU на Mac OS X.

• За да анализираме алгоритъма, ще броим колко пъти са посетени (използвани) елементите на масива.
• За вектор с n елементи ще трябва да посетим всичките n от тях за да намерим най-малкия. След това посещаваме още два елемента за размяната.
• На следващата стъпка посещаваме n - 1 елемента за да намерим най-малкия и още два за размяната. Разглеждаме най-лошия случай, когато се налага да разменяме елементи не всяка стъпка.
  
• На следващата стъпка посещаваме (n - 2) + 2 елементи.
• Общият брой на посетените елементи е

  

  защото

  

• Получаваме формула за броя на посещенията (1/2) n² + (5/2) n - 3.
• За големи стойности на n двата последни члена на полинома нямат съществено значение и ги игнорираме.

  n	(1/2) n2	(5/2) n - 3
  1000	500 000	2 497
  2000	2 000 000	4 997

• При сравняване на отношението на броя за различни стойности на n, коефициентът 1/2 се премахва (съкращава).
• Казваме "Броят на посещенията е от порядък n²" и използваме означението О-голамо (big-Oh notation): Броят на посещенията е O(n²).
• Казваме, че пряката селекция е алгоритъм за сортиране със сложност O(n²) - квадратичен алгоритъм.
  
• За алгоритъма за сортиране пряка селекция удвояването на броя на елементите увеличава времето за изпълнение 4 пъти.
• Ако за n = 10000 и времето е 4 секунди, сортирането на m = 1 милион елементи ще отнеме повече от 11 часа!
  (m = 100n, t_m = 100²t_n = 4.100² seconds = 4.100.100/3600 > 11 hours!)

• Нека е даден вектор от 10 цели числа, като първата и втората половина на вектора вече са сортирани:

  

• Лесно е да се слеят двете сортирани половини, като сравняваме елементи от първата и втората половина и избираме по-малкия елемент:

  

• Алгоритъмът за сортиране разделя векторът на все по-малки половинки, сортира всяка от тях и после ги слива.

  void merge_sort(vector<int>& a, int from, int to)
  {  if (from == to) return;
     int mid = (from + to) / 2;
     /* sort the first and second half */
     merge_sort(a, from, mid);
     merge_sort(a, mid + 1, to);
     merge(a, from, mid, to);
  }

• Процедурата  merge слива двете сортирани половинки.

// mergsort.cpp
001: #include <iostream>
002: #include <vector>
003: #include <cstdlib>
004: #include <ctime>
006: using namespace std;
008: /** 
009:    Merges two adjacent ranges in a vector
010:    @param a the vector with the elements to merge
011:    @param from the start of the first range
012:    @param mid the end of the first range
013:    @param to the end of the second range
014: */
015: void merge(vector<int>& a, int from, int mid, int to)
016: {  int n = to - from + 1; /* size of the range to be merged */
018:    /* merge both halves into a temporary vector b */
019:    vector<int> b(n);
020: 
021:    int i1 = from;
022:       /* next element to consider in the first half */
023:    int i2 = mid + 1;
024:       /* next element to consider in the second half */
025:    int j = 0; /* next open position in b */
027:    /* 
028:       As long as neither i1 nor i2 past the end, move the smaller
029:       element into b
030:    */
031:    while (i1 <= mid && i2 <= to)
032:    {  if (a[i1] < a[i2])
034:       {  b[j] = a[i1];
036:          i1++;
037:       }
038:       else
039:       {  b[j] = a[i2];
041:          i2++;
042:       }
043:       j++;
044:    }
046:    /* 
047:       Note that only one of the two while loops below is executed
048:    */
050:    /* Copy any remaining entries of the first half */
051:    while (i1 <= mid)
052:    {  b[j] = a[i1];
054:       i1++;
055:       j++;
056:    }
057:    /* Copy any remaining entries of the second half */
058:    while (i2 <= to)
059:    {  b[j] = a[i2];
061:       i2++;
062:       j++;
063:    }
065:    /* Copy back from the temporary vector */
066:    for (j = 0; j < n; j++) a[from + j] = b[j];
068: }
070: /**  
071:    Sorts the elements in a range of a vector.
072:    @param a the vector with the elements to sort
073:    @param from start of the range to sort
074:    @param to end of the range to sort
075: */
076: void merge_sort(vector<int>& a, int from, int to)
077: {  if (from == to) return;
079:    int mid = (from + to) / 2;
080:    /* sort the first and the second half */
081:    merge_sort(a, from, mid);
082:    merge_sort(a, mid + 1, to);
083:    merge(a, from, mid, to);
084: }
086: /** 
087:    Prints all elements in a vector
088:    @param a the vector to print
089: */
090: void print(vector<int> a)
091: {  for (int i = 0; i < a.size(); i++) cout << a[i] << " ";
094:    cout << "\n";
095: }
097: /**
098:    Sets the seed of the random number generator.
099: */
100: void rand_seed()
101: {  int seed = static_cast<int>(time(0));
103:    srand(seed);
104: }
106: /** 
107:    Computes a random integer in a range.
108:    @param a the bottom of the range
109:    @param b the top of the range
110:    @return a random integer x, a <= x and x <= b
111: */
112: int rand_int(int a, int b)
113: {  return a + rand() % (b - a + 1);  }
116: 
117: int main()
118: {  rand_seed();
120:    vector<int> v(20);
121:    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
122:       v[i] = rand_int(1, 100);
123:    print(v);
124:    merge_sort(v, 0, v.size() - 1);
125:    print(v);
126:    return 0;
127: }

• mergetime.cpp
  
• Въпреки, че алгоритъмът е по-сложен, той работи по-бързо от пряката селекция.

• Графиката няма параболична форма - изглежда, че времето за изпълнение е почти линейна функция на n  (броя на елементите на вектора).

• n	seconds
  200000	1
  400000	2
  800000	4
  1600000	8
  3200000	18

• Отново броим посещенията на елементите на вектора.
• Разглеждаме процеса на сливане: За вектор с n елементи,
  • трябва да посетим първите два елемента от двете части за да ги сравним (2 посещения),
  • трябва да сорираме по-малкия елемент в новия сортиран вектор (1 посещение),
  • трябва да копираме обратно сортирания вектор в оригиналния (2 посещения).
• Така за процеса сливане трябват 5n посещения.

• За анализ на целия алгоритъм, нека с T(n) означим броя на посещенията, необходими за сортиране на вектор с n елемента по метода сортиране чрез сливане.
• За опростяване на пресмятанията предполагаме, че n е степен на двойката, т.е. n = 2^m.
• Тъй като за сортиране на половин вектор са необходими T(n/2) посещения, имаме:

  

• По същия начин получаваме:

  

• Комбинирайки двете формули, получаваме:

  

• Повторението на процеса води до:

  

• Накрая се получава формулата

  

• Тъй като предположихме n = 2^m имаме:

  

• За да определим порядъка на нарастване, изпускаме членовете от по-нисък ред и коефициента.
• Тъй като смяна на основата на логаритъма променя стойността с константен множител, при оценката може да изпуснем основата на логаритъма.

  

• Следователно сортиране чрез сливане е алгоритъм със сложност O(n log n).

• Как да сравним O(n²) с O(n log n)?
•  С O(n²) алгоритъм сортирането на вектор с 10⁶ елемента е 100² = 10 000 пъти по-бавно отколкото на вектор с 10⁴ елементи.
• С O(n log n) алгоритъм сортирането на вектор с 10⁶ елемента е 100.log100 = 150 пъти по-бавно отколкото на вектор с 10⁴ елементи, защото

  

• Ако за 4 секунди се сортират 10 000 елементи и с двата алгоритъма (сливането е по-бързо, разбира се) тогава
  • ще отнеме 10 минути за сортиране на 10⁶ елементи чрез сливане и
    
  • ще отнеме 11 часа за сортиране на 10⁶ елементи по метода на пряката селекция.

• Ако искаме да намерим число в редица от стойности, които са в произволен ред, трябва да разгледаме всички елементи, докато намерим търсеното число или докато стигнем до края на редицата.
• Този алгоритъм се нарича линейно или последователно търсене.
• Нищо не може да се направи за ускоряване на процеса, затова алгоритъмът има сложност O(n).
  
• Процедурата връща -1, ако числото не е намерено.

// lsearch.cpp  
01: #include <iostream>
02: #include <vector>
03: #include <cstdlib>
04: #include <ctime>
06: using namespace std;
08: /**
09:    Finds an element in a vector
10:    @param v the vector with the elements to search
11:    @param a the value to search for
12:    @return the index of the first match, or -1 if not found
13: */
14: int linear_search(vector<int> v, int a)
15: {  for (int i = 0; i < v.size(); i++)
17:       if (v[i] == a) return i;
21:    return -1;
22: }
24: /** 
25:    Prints all elements in a vector
26:    @param a the vector to print
27: */
28: void print(vector<int> a)
29: {  for (int i = 0; i < a.size(); i++)
31:       cout << a[i] << " ";
32:    cout << "\n";
33: }
35: /**
36:    Sets the seed of the random number generator.
37: */
38: void rand_seed()
39: {  int seed = static_cast<int>(time(0));
41:    srand(seed);
42: }
44: /** 
45:    Computes a random integer in a range.
46:    @param a the bottom of the range
47:    @param b the top of the range
48:    @return a random integer x, a <= x and x <= b
49: */
50: int rand_int(int a, int b)
51: {  return a + rand() % (b - a + 1);  }
54: 
55: int main()
56: {  rand_seed();
58:    vector<int> v(20);
59:    for (int i = 0; i < v.size(); i++)
60:       v[i] = rand_int(1, 100);
61:    print(v);
62:    cout << "Enter number to search for: ";
63:    int n;
64:    cin >> n;
65:    int j = linear_search(v, n);
66:    cout << "Found in position " << j << "\n";
67:    return 0;
68: }

• Сега търсим елемент в сортирана редица (наредени по големина елементи).
• Освен с линейно търсене, задачата може да се реши с двоично търсене.
• Търсенето се нарича двоично, защото областта на търсене се намалява наполовина на всяка стъпка.
• Този алгоритъм (делене наполовина) работи, само защото редицата е предварително сортирана.
  

• Пример: Търсим числото 123 във вектора:

• Последният елемент от първата половина на вектора v[3], е 100. 100 < 123, което означава, че трябва да продължим търсенето във втората половина на вектора.

• Последният елемент от първата половина на вектора v[5], е 290. 290 > 123, което означава, че трябва да продължим търсенето в първата половина.

• Тъй като има само един елемент за сравневие v[5], който не е 123, търсенето завършва неуспешно - няма елемент със стойност 123 във вектора.

// bsearch.cpp
01: #include <iostream>
02: #include <vector>
03: #include <cstdlib>
04: #include <ctime>
06: using namespace std;
08: /**
09:    Finds an element in a sorted vector.
10:    @param v the sorted vector with the elements to search
11:    @param from the start of the range to search
12:    @param to the end of the range to search
13:    @param a the value to search for
14:    @return the index of the first match, or -1 if not found
15: */
16: int binary_search(vector<int> v, int from, int to, int a)
17: {  if (from > to)  return -1;
20:    int mid = (from + to) / 2;
21:    int diff = v[mid] - a;
22:    if (diff == 0) /* v[mid] == a */
23:       return mid;
24:    else if (diff < 0) /* v[mid] < a */
25:       return binary_search(v, mid + 1, to, a);
26:    else
27:       return binary_search(v, from, mid - 1, a);
28: }
30: /** 
31:    Prints all elements in a vector
32:    @param a the vector to print
33: */
34: void print(vector<int> a)
35: {  for (int i = 0; i < a.size(); i++)
37:       cout << a[i] << " ";
38:    cout << "\n";
39: }
41: /**
42:    Sets the seed of the random number generator.
43: */
44: void rand_seed()
45: {  int seed = static_cast<int>(time(0));
47:    srand(seed);
48: }
50: /** 
51:    Computes a random integer in a range.
52:    @param a the bottom of the range
53:    @param b the top of the range
54:    @return a random integer x, a <= x and x <= b
55: */
56: int rand_int(int a, int b)
57: {  return a + rand() % (b - a + 1);  }
60: 
61: int main()
62: {  rand_seed();
64:    vector<int> v(20);
65:    v[0] = 1;
66:    for (int i = 1; i < v.size(); i++)
67:       v[i] = v[i - 1] + rand_int(1, 10);
68: 
69:    print(v);
70:    cout << "Enter number to search for: ";
71:    int n;
72:    cin >> n;
73:    int j = binary_search(v, 0, v.size() - 1, n);
74:    cout << "Found in position " << j << "\n";
75:    return 0;
76: }

• Двоичното търсене има сложност O(log n).

• Пример: Нека n = 100, след всяка стъпка дължината на интервала за търсене намалява наполовина до 50, 25, 12, 6, 3 и 1.
  • След 7 сравнения сме решили задачата.
  • log₂100 е приблизително 6.64386,  2⁷ = 128.
• Очевидно двоичното търсене е по-бърз алгоритъм от линейното търсене.
• Дали е разумно най-напред да сортираме данните и после да приложем двоично търсене?
  • O(n) търсене е по-бързо от O(n log n) сортиране, затова не си струва да сортираме за едно търсене.
  • Сортирането има смисъл, ако трябва да направим много търсения в един и същи вектор.