11. Разделяй и владей

Намиране на k-тия по големина елемент [7.1]

* Принципи на "разделяй и владей": разбиване на изходната задача на няколко подзадачи (разделяй), решаване на подзадачите и конструиране на решение на изходната задача (владей).

* Пример с двоично търсене.

* Намиране на максимален елемент (първия по големина) - n - 1 сравнения, n присвоявания в най-лошия случай, 1 присвояване в най-добрия случай, средния брой присвоявания е от порядък O(log n).

* Едновременно намиране на минимален и максимален елемент (първия и последния по големина) - 3n/2 сравнения ! Сравняваме 2 съседни елемента, по-големия го сравняване за max, а по-малкия - за min.

* Пълно сортиране - най-добрите алгоритми са O(n log n).

* Бързо сортиране с разделяне на дялове (Хоор, "разделяй и владей") - O(n²) в най-лошия случай, O(n) в най-добрия случай, O(n log n) средно. Сложността зависи от избора на елемент за разделяне на дялове.

* Когато търсим k-тия по големина елемент няма нужда да обработваме и двата дяла - отново O(n²) в най-лошия случай.

* Метод на Блум, Флойд, Прат, Ривест и Тарджан.
   - Нека имаме метод M за намиране на k-тия по големина елемент с 28n сравнения.
   - За n <= 55 прилагаме метода на мехурчето, 28n > n(n-1)/2
   - Медиана - елемент на масив, който се намира на позиция n/2 в сортирания масив.
   - Търсене на медиана на медианите:
        1. Разделяме масива на групи по 7 елемента.
        2. Сортираме всяка група и намираме медианата й (третия елемент) чрез сортиране по метода на мехурчето (или друг квадратичен метод).
        3. Намираме медианата на медианите по метод M (рекурсивно!).
    - Разделянато на дялове извършваме с така намерената медиана на медианите.
    - Оценка на метода (7(7-1)/2)(n/7) + 28(n/7) + 28(5n/7) = 3n +  4n + 20n = 27n (при всяко рекурсивно извикване областта намалява с поне 2n/7 елемента), т.е. предположението за 28n сравнения е вярно.

* Метод на Дур и Цвик [1995] - 2.95n сравнения, [2001] - (2+epsilon).n сравнения.

Допълнителна литература: Лендерт Амерал, 3.12.

Бързо умножение на дълги числа [7.7] 

* Класическият алгоритъм за умножение на цели числа има сложност O(n²).

* Алгоритъм за умножение на две n-цифрени числа X и Y, като n е степен на 2.

* Тази формула изисква 3 умножения, 6 събирания и 2 премествания вляво (умножения на степени на 2). От рекурентната формула

* Пример 1: 15 x 8 = 120,  X = 15 = 1111₂,  Y = 8 = 1000₂, n = 4 = 2²
 A = 11, B = 11, C = 10, D = 00
 AC = 110,  (A - B)(D - C) = 0.10 = 0, BD = 0
 XY = 110 << 4 + 110 << 2 = 1100000 + 11000 = 1111000₂ = 8+16+32+64 = 120₁₀

* Когато числата са с различен брой цифри и/или този брой не е степен на 2, допълваме отляво с незначещи нули и използваме горния алгоритъм.

* Пример 2. 50 x 25 = 1250, X = 50 = 110010₂,  Y = 25 = 11001₂, n = 8 = 2⁴ с допълване до най-близката степен на 2.
 A = 0011 (3), B = 0010 (2), C = 0001 (1), D = 1001 (9)
 AC = 0011 (3),  (A - B)(D - C) = 0001.1000 = 1000 (8), BD = 10010 (18)
 XY = 3.256 + (8 + 3 + 18).16 + 18 =
          11 << 8 + 11101 << 4 = 11 0000 0000 + 1 1101 0000 + 10010 = 10011100010₂ =
          2+32+64+128+1024 = 1250₁₀
* Подзадачи:
  - представяне на дълги числа (низ или вътрешно);
  - брой на битовете на цяло число;
  - разделяне на десните от левите битове на числото;
  - сума и разлика на две числа.

Циклично преместване на елементите на масив [7.10]

* Пример за циклично преместване на k позиции елементите на масив m от n елемента.
n = 6, k = 2   0 1 2 3 4 5   ->  2 3 4 5 0 1

* Алгоритъм 1:
- копираме първите k елемента на m в друг масив x;
- преместваме n-k елемента на m на k позиции вляво;
- копираме елементите на x обратно в m на последните k позиции.
Сложност O(n), допълнителна памет k елемента.

* Алгоритъм 2:
Описания алгоритъм за k = 1. За да осъществим циклично преместване с k елемента, е необходимо да приложим този алгоритъм  k пъти.
Сложност O(n²), допълнителна памет 1 елемент.

* Алгоритъм 3:
- копираме m[0] в x;
- преместваме m[k] в m[0], преместваме m[2k%n] в m[k], преместваме m[3k%n] в m[2k%n] и т.н. докато стигнем последния непреместен елемент, който го заменяме с x (Пример А). Ако достигнем до преместен елемент, спираме и започваме отначало по същия начин, като заменяме k с k+1 (Пример Б).
 

Сложност O(n), допълнителна памет 1 елемент.

* Алгоритъм 4 (разделяй и владей):
- разделяме масива на 2 части: A - първите k елемента и B - последните n - k елемента;
- разделяме масива B на 2 части, Br - последните k елемента, Bl - останалите елементи;
- разменяме местата на елементите на A и Br;
- прилагаме същия алгоритъм за масива B.

Пример.
n = 11, k = 3:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  ->  3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
A = [0 1 2], Bl = [3 4 5 6 7], Br = [8 9 10]
[8 9 10 3 4 5 6 7 0 1 2 ]

[8 9 10 3 4 5 6 7 ]  [0 1 2]
A = [8 9 10], Bl =[3 4], Br = [5 6 7]
[5 6 7 3 4 8 9 10]

[5 6 7 3 4]  [8 9 10 0 1 2]
A = [5 6 7], Bl = [], Br = [3 4 5]
[ 3 4 5 6 7]

[3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2]

Сложност O(n), допълнителна памет - константа.

* Алгоритъм 5 (Кърниган и Плоджер):

Пример.
n = 11, k = 3:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  ->  3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2

A = [0 1 2], B = [3 4 5 6 7 8 9 10], AB = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
A^R = [2 1 0],  B^R = [10 9 8 7 6 5 4 3],  A^R B^R = [2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3]
(A^R B^R)^R = [3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2]

// shift3.c
#include <stdio.h>
#define N 11

int m[N];

void reverse(unsigned a, unsigned b)
{ unsigned i, j, k, c;
  int tmp;
  for (c=(b-a)/2, k=a, j=b, i=0; i<c; i++, j--, k++)
  { tmp = m[k];
    m[k] = m[j];
    m[j] = tmp;
  }
}

void shift3(unsigned k)
{ reverse(0, k-1);
  reverse(k, N-1);
  reverse(0, N-1);
}

int main()
{
 int i;
 for (i=0; i<N; i++) m[i]=i;
 shift3(3);
 for (i=0; i<N; i++) printf("%d ", m[i]);
 printf("\n");
 return 0;
}
Сложност O(n), допълнителна памет - константа.