9. Геометрични задачи, лице на многоъгълник

Задача 9A.
Да се намерят пресечните точки на две окръжности, зададени с центровете и радиусите си.
Пример: A - (0, 0), 3;  B - (4,0), 5;  пресечни точки (0, 3) и (0, -3).

Задача 9B.
Дадена е окръжност (с център и радиус) и точка. През точката можем да прекараме 2 прави, които се допират до окръжността. Да се намерят допирните точки на правите с окръжността.
Пример: A - (-3, 0), 3; B -  (3, 0); допирни точки  (0, 0) и (3, -3).

Задача 9C.
Дадени са 3 точки в равнината. Да се намери центъра на окръжност, която минава през трите точки.
Пример: (4, 0), (0, 4), (-4, 0); центърът е точката (0, 0).

Лице на многоъгълник
Задачата за намиране на лице на многоъгълник е основна за изчислителната (комбинаторната) геометрия.
За решаване на задачата се предлага алгоритъм, който не предизвиква изчислителни проблеми – т.н. ориентирани лица. Същността на алгоритъма е в следната формула:

S = |(x1–x0)(y1+y0)/2+(x2–x1)(y2+y1)/2+…+(xN-1–xN-2)(yN-1+yN-2)/2+(x0–xN-1)(y0+yN-1)/2|

където (xi, yi), i = 0, 1, …, N–1, са координатите на върховете на изпъкналия многоъгълник, в реда, в който се срещат при обхождането му (по посока на часовниковата стрелка или в обратна посока).
Формулата е валидна не само за изпъкнали многоъгълници, но и за неизпъкнали несамопресичащи се.
За пресмятане на лицето на един многоъгълник не е необходимо да запомняме координатите на върховете му в паметта. Достатаъчно е да помним само координатите на началната точка, за да пресметнем последното събираемо на израза. За намирането на минимума също не е необходимо да запомняме намерените лица.