4. Динамично оптимиране

Числа на Фибоначи [8.3.1]

* Числа на Фибоначи: F(0) = F(1) = 1 и F(i) = F(i -1) + F(i - 2) за i > 1.

unsigned long fib(unsigned n) 
{  if (n < 2) return 1; 
   return fib(n - 1) + fib(n - 2); 
}

* Динамично програмиране - със запомняне на вече пресметнатите стойности:

#include <stdio.h> 
#define MAX 256 

unsigned n = 10; 
unsigned long m[MAX + 1];

unsigned long fibMemo(unsigned n) 
{ if (n < 2) m[n] = 1; 
  else if (0 == m[n]) m[n] = fibMemo(n - 1)+ fibMemo(n - 2); 
  return m[n];
}
int main() 
{ memset(m, 0, MAX*sizeof(*m)); 
  scanf("%u", &n); 
  printf("\n%u-тото число на Фибоначи e", %lu", n, fibMemo(n)); 
  return 0; 
}

Биномни коефициенти [8.3.2]

Нека C(n, k) е биномният коефициент "n над k" или комбинации без повторения от n елемента k-ти клас. 
Общата формула е: C(n, k) = n!/((n - k)! k!), а от триъгълника на Паскал имаме и рекурентна формула:

* Рекурсивен неефективен алгоритъм:

unsigned long binom(unsigned n, unsigned k)
{ if (k > n) return 0;
  if (k == 0 || k == n) return 1;
  return binom(n - 1, k - 1) + binom(n - 1, k); 
}

* Динамично програмиране - със запомняне на вече пресметнатите стойности. Не е необходимо да се пази цялата таблица C(n, k), а само един ред от таблицата - предишния.

#define MAX 200
unsigned long m[MAX];
unsigned long binomDynam(unsigned n, unsigned k)
{ unsigned i, j;
  for (i = 0; i <= n; i++)
  { m[i] = 1;
    if (i > 1)
    { if (k < i - 1) j = k; else j = i - 1;
      for (; j >= 1; j--) m[j] += m[j - 1];
    }
  }
  return m[k];
}

Задача 4a. Числа на Фибоначи

Да се напише програма (4a.cpp или 4a.c) за пресмятане на n-тото число на Фибоначи със запомняне на вече пресметнати стойности и използване на формулата:

F(n) = F²(n/2) + F²(n/2 - 1), за n четно; F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), за n нечетно.

Задачи за симулации

Задача 4b. Едномерен дискретен свят