12. Динамично оптимиране - I

Задача за раницата [8.2.1]

Дадена е раница с вместимост M килограма и N предмета, всеки от които се характеризира с две числа - тегло mi и стойност ci. Да се избере такова множество от предмети, чиято стойност е максимална, а сумата от теглата не надвишава M.

Дефинираме рекурентна целева функция:

F(0) = 0;  F(i) = max { cj + F(i - mj),  j = 1, 2, ..., Nmj ≤ i }, i > 0

Методът на динамичното оптимиране изисква последователно пресмятане на стойностите на F(i), като за това пресмятане се използват вече пресметнатите стойности за по-малки i.

Програма на С++ за решаване на задачата.

Да разгледаме примера:

N = 8;
index  1  2  3  4  5  6  7  8
m[8] 3, 7, 6, 1, 2, 4, 5, 5
c[8] 5, 3, 9, 1, 1, 2, 5, 2
M = 8;

Fn[0] = 0;
Fn[1] = max{c[4]+Fn[0]} = 1;
set[1][4]=1; set[1] = {0,0,0,1,0,0,0}

Fn[2] = max{c[4]+Fn[1], c[5]+Fn[0]} = 1
set[2][5]=1; set[2] = {0,0,0,0,1,0,0}

Fn[3] = max{c[1]+Fn[0], c[4]+Fn[2], c[5]+Fn[1]} =
max{5 +0, 1 +1, 1 +1} = 5
set[3][1]=1; set[3] = {1,0,0,0,0,0,0}

Fn[4] = max{c[1]+Fn[1], c[4]+Fn[3], c[5]+Fn[2], c[6]+Fn[0]} =
max{5 +1, 1 +5, 1 +1, 2 +0} = 6
set[4][1]=1; set[4] = {1,0,0,1,0,0,0}

Fn[5] = max{c[1]+Fn[2],c[4]+Fn[4],c[5]+Fn[3],c[6]+Fn[1],c[7]+Fn[0],c[8]+Fn[0]} =
max{5 +1, 1 +6, 1 +5, 2 +1, 5 +0, 2 +0} = 6
set[5][1]=1; set[5] = {1,0,0,0,1,0,0}

Fn[6] = max{c[1]+Fn[3],c[3]+Fn[0],c[4]+Fn[5],c[5]+Fn[4],c[6]+Fn[2],c[7]+Fn[2],c[8]+Fn[1]} =
max{5 +5, 9 +0, 1 +5, 1 +6, 2 +1, 5 +1, 2 +1} = 9
set[6][3]=1; set[6] = {0,0,1,0,0,0,0}

Fn[7] = max{c[1]+Fn[4],c[2]+Fn[0],c[3]+Fn[1],c[4]+Fn[6],c[6]+Fn[5],c[7]+Fn[2],c[8]+Fn[2]} =
max{5 +6, 5 +0, 9 +1, 1 +9, 2 +6, 5 +1, 2 +1} = 10
set[7][3]=1; set[7] = {0,0,1,1,0,0,0}

Fn[8] = max{c[1]+Fn[5],c[2]+Fn[1],c[3]+Fn[2],c[4]+Fn[7],c[6]+Fn[4],c[7]+Fn[3],c[8]+Fn[3]} =
max{5 +6, 5 +1, 9 +1, 1 +10, 2 +6, 5 +1, 2 +1} = 10
set[8][3]=1; set[8] = {0,0,1,0,1,0,0}

Варианти на алгоритъма за решаване на задчата:

Варианти на задачата за раницата:


"Лесна" задача

Зайче в беда

                Веднъж малкото бяло зайче, гонено от един ловец попаднало в лабиринт, които имал форма на квадратна дъска N x N. В него чакал големия лош вълк, които предварително изкопал дупки, където зайчето да падне и той да го хване по-лесно. В последния момент зайчето с ужас разбрало, че може да се движи само в посока надолу и надясно и че изхода от лабиринта е чак в долния десен ъгъл на дъската.

                Зайчето трябвало да разбере каква е вероятността да излезе от лабиринта без да падне в някоя дупка. За целта трябвало да изчисли броя пътища от входа до изхода на лабиринта, като успяло да се снабди с картата на този лабиринт. Картата е зададена с размер N, като местата на дупките са означени с 0, а проходимите места с 1. Напишете програма, която пресмята търсения брой пътища.

F(i,j) = F(i-1,j) + F(i, j-1)
F(0,j) = 1
F(i,0) = 1

1, 1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,2
1,3
0
1,1
1,1
1,3
0
1,0
1,1
0
1,3
1,3
1,3
1,4
1,0
1,3
1,6
1,9
1,13

Най-дълга обща подредица [8.2.6]

Дадени са две редици (от числа или символи):

X = (x1, x2, ..., xm) и  Y = ( y1, y2, ..., yn)

Търси се най-дълга редица Z = (z1, z2, ..., zk), която е подредица на и Y едновременно. Z е подредица на  X, ако Z може да бъде получена чрез премахване на (0 или няколко) членове на X.

Най-напред ще търсим само дължината на най-дългата обща подредица. Ще приложим метода на динамичното оптимиране, като F(i, j) е търсената дължина за първите i члена на редицата X и първите j члена на редицата Y. Очевидно
    F
(i,0) = 0 за всяко i, F(0, j) = 0 за всяко j.
    F
(i, j) = F(i -1, j -1) + 1 за xi = yj,
    F(i, j) = max {F(i -1, j), F(i, j -1)} в противен случай.
Намираме последователно стойностите на F(i, j) и последната намерена стойност F(m,n) е решението на задачата.

Намирането на една най-дълга подредица (може да не е една) става по същия начин, като тръгваме от последния елемент и следим откъде идва максималната стойност.


Пример:

acbcacbcaba
abacacacababa


Обща подредица: abcaccaba

acbcacbcaba
abacacacababa



0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11


""
a c
b
c
a
c
b
c
a
b
a
0
""
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
a
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
b
0
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
a
0
1
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
c
0
1
2
2
3
3
4
4
4
4
4
4
5
a
0
1
2
2
3
4
4
4
4
5
5
5
6
c
0
1
2
2
3
4
5
5
5
5
5
5
7
a
0
1
2
2
3
4
5
5
5
6
6
6
8
c
0
1
2
2
3
4
5
5
6
6
6
6
9
a
0
1
2
2
3
4
5
5
6
7
7
7
10
b
0
1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
8
11
a
0
1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
9
12
b
0
1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
9
13
a
0
1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
9